¿Cuál es la diferencia entre require, include, require_once y include_once en PHP?

¡Hola a todos! Acabo de empezar a aprender PHP y no puedo entender cómo incluir archivos. En los tutoriales y foros me encuentro constantemente con cuatro construcciones: require, include, require_once y include_once. A primera vista hacen lo mismo: insertar código de otro archivo, pero siento que hay diferencias importantes entre ellos.

Aquí hay un ejemplo de mi código. Tengo un archivo config.php con la configuración de la base de datos:

<?php
$host = 'localhost';
$user = 'root';
$pass = 'password';
?>

Y el archivo principal index.php, donde intento incluirlo:

<?php
include 'config.php';
echo $host; // Funciona
?>

Pero cuando cambio include por require, el comportamiento parece ser el mismo. Y si el archivo no existe, include solo muestra un error, mientras que require detiene el script. ¿Y qué pasa con