Errores PHP: Notice: Undefined variable, index, offset y cómo solucionarlos

¡Hola a todos! Soy nuevo en PHP y constantemente me encuentro con diferentes Notice y Warning al trabajar con variables y arrays. Por ejemplo, tengo este código:

<?php
$user = $_POST['username'];
echo "Hola, " . $user;

$data = array('name' => 'Iván');
echo $data['age'];

$items = array('manzana', 'plátano');
echo $items[5];

echo $undefined_var;
?>

Y recibo en el navegador:

• Notice: Undefined variable: undefined_var
• Notice: Undefined index: username
• Warning: Undefined array key "age"
• Notice: Undefined offset: 5

El script funciona, pero estos mensajes arruinan la salida y se ven alarmantes. He leído que se puede desactivar display_errors en php.ini, pero eso no soluciona el problema, solo oculta los errores. ¿Cómo manejar correctamente estos casos? ¿Cuáles son las mejores prácticas para verificar la existencia de variables y claves de array? ¿Y por qué PHP...