Errores "Undefined variable", "Undefined index", "Undefined offset" en PHP: cómo solucionarlos

¡Hola a todos! Soy nuevo en PHP y constantemente me encuentro con errores como Notice: Undefined variable, Notice: Undefined index y Warning: Undefined array key. Se muestran en pantalla y rompen la lógica de mi código. Ayúdenme a entender qué significan y cómo deshacerme de ellos.

Aquí hay un ejemplo de código que causa el error: intento obtener datos de un formulario:

<?php
    $name = $_POST['username'];
    echo "Hola, " . $name;
?>

Si el formulario no se ha enviado, aparece Notice: Undefined index: username. Y si simplemente uso una variable sin verificar:

<?php
    echo $message;
?>

Entonces obtengo Notice: Undefined variable: message. También sucede cuando trabajo con arrays:

<?php
    $arr = [0 => 'a', 1 => 'b'];
    echo $arr[2];
?>

Aquí el error es Warning: Undefined array key 2. ¿Cómo manejar correctamente estos casos?