Cómo agregar ceros a la izquierda a un número entero en Java?

¡Hola a todos! Soy un desarrollador Java principiante y me encontré con esta tarea: necesito mostrar un número con ceros a la izquierda para que siempre ocupe una cantidad determinada de caracteres. Por ejemplo, el número 5 debería convertirse en "0005", y 123 en "0123" (para que la longitud del string sea de 4 caracteres).

Intenté usar concatenación de strings y bucles, pero se ve horrible y es incómodo. Aquí está mi código actual:

int number = 5;
String result = "";
if (number < 10) {
    result = "000" + number;
} else if (number < 100) {
    result = "00" + number;
} else if (number < 1000) {
    result = "0" + number;
} else {
    result = String.valueOf(number);
}
System.out.println(result); // Imprime "0005"

Este código solo funciona para números hasta 9999 y se ve muy engorroso. ¿Y si necesito una cantidad diferente de dígitos o no sé de antemano la longitud máxima? He oído sobre String.format() y DecimalFormat, pero no entiendo cómo usarlos.