Причина ошибки

Ошибка возникает, потому что TypeScript по умолчанию не знает, как обрабатывать JSX-синтаксис (HTML-подобные теги внутри JavaScript/TypeScript). Для этого нужно явно указать компилятору, какой режим JSX использовать. В вашем tsconfig.json отсутствует параметр jsx.

Решение

Добавьте в compilerOptions вашего tsconfig.json следующую строку:

{
  "compilerOptions": {
    "jsx": "react-jsx",  // или "react" — см. пояснение ниже
    // остальные настройки...
  }
}

Какой именно режим выбрать?

В современных проектах с React 17+ и TypeScript 4.1+ рекомендуется использовать "jsx": "react-jsx". Вот полная таблица режимов:

• "react" — классический режим. Компилирует JSX в вызовы React.createElement. Требует, чтобы React был в области видимости (нужен import React from 'react' в каждом файле).
• "react-jsx" — новый режим (React 17+). Использует автоматический импорт из react/jsx-runtime. Позволяет не писать import React from 'react' в каждом файле (но импорт для хуков и других функций всё равно нужен).
• "preserve" — оставляет JSX как есть. Используется, если дальнейшую обработку делает другой инструмент (например, Babel).
• "react-native" — для React Native.

Обновлённый tsconfig.json

Для вашего случая (React 18, TypeScript 5) оптимальный конфиг будет таким:

{
  "compilerOptions": {
    "target": "ES2020",
    "module": "ESNext",
    "strict": true,
    "esModuleInterop": true,
    "jsx": "react-jsx",          // ✅ добавили эту строку
    "outDir": "./dist",
    "rootDir": "./src"
  },
  "include": ["src/**/*"]
}

После этого ваш компонент можно упростить, убрав ненужный импорт React (хотя он не помешает):

// import React from 'react';  // можно удалить, если используете react-jsx

interface Props {
  name: string;
}

const Greeting: React.FC<Props> = ({ name }) => {
  return <h1>Hello, {name}!</h1>;
};

export default Greeting;

Дополнительные проверки

1. Версии пакетов: убедитесь, что у вас установлены актуальные версии @types/react и @types/react-dom:

npm install --save-dev @types/react @types/react-dom

2. Перезапустите компиляцию: после изменения tsconfig.json выполните:

npx tsc --noEmit   # проверить без генерации файлов
npx tsc            # скомпилировать

3. IDE: если используете VSCode, перезагрузите окно (Ctrl+Shift+P → "Reload Window"), чтобы TypeScript Language Service подхватил новые настройки.

Почему это работает?

Параметр jsx в tsconfig.json сообщает компилятору TypeScript, как трансформировать JSX-синтаксис. Без него компилятор видит <h1> и не понимает, что это — это не валидный TypeScript, и не JSX, поэтому выдаёт ошибку. Указав "react-jsx", вы говорите: "используй новый автоматический режим React для преобразования JSX".