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Intenta pensar en esta dirección

S = summ(a[i]*i*i); donde i=1..sqrt(10 000 000), a[i] - son los factores. La función objetivo min(summ(a[i]))

Está claro que la opción más larga es la suma de unos. Tomando los unos como base, se puede reducir la función objetivo agregando cuadrados de números grandes. Y no considerar durante la iteración las opciones donde la función objetivo toma un valor mayor que el actual.

La idea es que se deben colapsar los unos hasta el mínimo de la función objetivo. Esto es una opción de hacia qué dirección moverse. Si alguien tiene algo mejor, escríbanme, también me interesa.

Aquí está en la que se demuestra el siguiente hecho.

Si x^2 + y^2 = n, entonces

(x+y)^2 + (x-y)^
                            
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